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第六次作业

习题六 54:

证明

• 设 \(G\) 的生成元为 \(a\), 同态为 \(\sigma\), 那么 \(\forall b\in \sigma(G),\ \exists a^m\in G,\ s.t. \sigma(a^m)=b\). 从而 \(b=\sigma(a^m)=\sigma(a)^m\). 即 \(\sigma(G)\) 中的所有元素都可以表示成 \(\sigma(a)\) 的整数次幂, 进而 \(\sigma(G)=\langle \sigma(a)\rangle\) 是循环群.

习题六 56:

证明

• \(\forall\ a,b\in H,f(a)=g(a),f(b)=g(b),f(ab^{-1})=f(a)+f(b^{-1})=f(a)-f(b)=g(a)-g(b)=g(a)+g(b^{-1})=g(ab^{-1})\Rightarrow ab^{-1}\in H\) 从而说明 \(H<X\).

习题六 57:

证明

• (1) 自反性:
  \(x=x*x*x^{-1}\Rightarrow (x,x)\in R\).
  (2) 对称性:
  若 \((x,y)\in R,\ \exists z\in G,\ s.t. y=z*x*z^{-1}\Rightarrow x=z^{-1}*y*(z^{-1})^{-1})\Rightarrow (y,x)\in R\).
  (3) 传递性:
  若 \((a,b),(b,c)\in R,\ \exists d,e\in G,\ s.t. b=d*a*d^{-1},c=e*b*e^{-1}\Rightarrow c=e*d*a*d^{-1}*e^{-1}=(e*d)*a*(e*d)^{-1}\Rightarrow (a,c)\in R\).

  综上, \(R\) 是等价关系.

习题六 58:

证明

• (1) \(\forall a\in G\) 若 \(a\in H\), 则有 \(aH=H=Ha\), 若 \(a\notin H\), 则取陪集分解 \(G=H\cup aH=H\cup Ha\), 从而 \(aH=Ha\).

  所以 $H\lhd G$.
  

  (2) \(\forall a\in G\), 由于 \(H\) 中元素和 \(a\) 可交换从而直接有 \(aH=Ha\).
  (3) \(\forall a\in G\), \(a(H_1\cap H_2)=aH_1\cap aH_2=H_1a\cap H_2a(H_1\cap H_2)a\).

习题六 59:

证明

• 零元: \(1\)

  幺元: \(0\)

  显然在整数中封闭并满足交换律.

习题六 60(1,3,5):

(1)不是, 没有幺元.
(3)是.
(5)是.

习题六 62:

解:

• 是环, 有零因子, \((x,0),(0,y),x,y\in \mathbb{Q}\).

  幺元 \((1,1)\).

  \((x,y),\ xy\neq 0\) 有逆元.

习题六 65:

解:

• (1)\

  m=6\

      子环: $\{0\},\{0,1,2,3,4,5\},\{0,2,4\},\{0,3\}$
  
      理想: $\{0\},\{0,1,2,3,4,5\},\{0,2,4\},\{0,3\}$
  

  m=8\

      子环: $\{0\},\{0,1,2,3,4,5,6,7\},\{0,2,4,6\},\{0,4\}$
  
      理想: $\{0\},\{0,1,2,3,4,5,6,7\},\{0,2,4,6\},\{0,4\}$
  

  m=11\

      子环: $\{0\},\{0,1,2,3,4,5,6,7,8.9,10\}$
  
      理想: $\{0\},\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
  
  (2)
  

习题六 68(2)(4):

是.

习题六 69: